Matematik ve Hata
Eminim ki bir çoğunuz, lokantada içtikleri çorba sonrasında hesabı karıştıran üç kişinin macerasını duymuşsunuzdur.
Üç arkadaş lokantaya girerler ve garsondan çorba isterler. Çorbalarını içtikten sonra sıra hesap ödemeye gelir. Hesabı ödemek için herkes onar lira verir. Garson para üstü olarak beş lira getirir. İki lirasını garsona bahşiş olarak bırakan üçlü, birer liralarını ceplerine atarlar. Sonra yaptıkları hesapta ise, çorbalara dokuzar lira ve garsona iki lira verdiklerini, bu paranın toplamının 29 lira olduğunu görürler. Peki o zaman bir lira nerededir?
Problemin bu şekildeki çözümünde bir sorun olduğu ortada. Peki ama sorun nerede?
3 çorbanın 25 liraya mal olduğu düşünüldüğünde, çorba fiyatının 25/3=8.3333... olduğu görülebilir. Lokanta sahibinin çorba fiyatı olarak neden bir devirli sayı kullandığı başka bir sorun belki ama biz bununla ilgilenmiyoruz. Gelen para üstünün tam olarak paylaşımı için iki lirayı garsona bahşiş vermeleri ve geriye kalan 3 lirayı da paylaşmaları sonucunda lokantaya gitmek çorbacı üçlünün her birine 9 liraya mal olmuştur. Ceplerine attıkları birer lira hesaba katıldığında hesap tamamdır. O halde problemin yukarıdaki biçimiyle hata nerededir.
Hata garsona bırakılan bahşiş ile birlikte kişi başına 9 liraya mal olan hesabı, yanlış kurarak çözmeye çalışmadadır yani problemin kurulmasında bir ALDATMACA söz konusudur. Ceplerinde bulunan üç lira yerine, hesaba katılan garson bahşişi iki lirayı toplama katma ile bir yanlışlık yapılmaktadır.
Matematikte problemi yanlış kurarak buna benzer birçok hata yapılabilir. Böylesi aldatmacaların dışında matematik ve hata ayrılmaz bir ikili oluştururlar. Matematik doğası gereği hata yapmaya çok elverişlidir.
Matematiksel hatalar, çoğu zaman matematiğe ve onun araçlarına yabancı olanlarca yapılsa da, tanınan matematikçilerinde hata yaptığı görülür. Özellikle sonsuz seriler, sonsuz çarpımlar,
kavram ve simgelerin yeni kullanıldığı ve üzerlerinde çalışmaların yapıldığı dönemde bu hatalara daha çok rastlanılır.
Piza`li Papaz ve matematikçi Guido Grandi (1671-1742), gül ve çiçeklere benzeyen eğriler üzerinde çalıştı. n pozitif bir sayı olmak üzere, kutupsal koordinatlara göre denklemi r=asinnx ve r=acosnx olan eğriler, "Grandi`nin gülleri" olarak bilinir.
Grandi, 1-1+1-1+1… sonsuz serisinin toplamı konusunda Alman düşünür Leibniz`le yazışmıştı. Grandi bu yazışmalarda, bu sonsuz toplamda terimleri ikililer halinde birleştirerek
sonsuz serisinde x=1 konulduğunda aynı sonsuz toplam 1/2 oluyordu.
Böylece, Grandi
1-1+1-1+……=1/2
sonucuna ulaşan eşitliğin, Hıristiyanlığın gizemiyle kıyaslanacak bir paradoks oluşturduğunu öne sürüyordu.
Benzer şekilde, 1/(x+1) fonksiyonunun integralini düşünerek, Leibniz ve Jean Bernoulli (l667-1748), negatif sayıların logaritması üzerine yazıştılar. 1/(x+1) fonksiyonunun integrali alınarak
elde edilen
serisi, x < -1 değerleri için ıraksak olduğundan, Leibniz negatif sayıların logaritmasının olmadığını ileri sürüyordu; ama Bernoulli logaritma fonksiyonu grafiğinin y-eksenine göre simetrik olduğunu ve
özelliğinin sağlandığını söyleyerek, ln(-x)=ln(+x) eşitliğinin doğruluğuna inanıyordu.
Negatif sayıların logaritmasının doğası, bu iki yazışmada da çözülemedi. Jean Bernoulli, 18. yüzyılın ilk yarışında ki yazışmalarında bu konudaki çalışmalara teşvikini sürdürdü. 1748 yılında ölümünden bir süre önce, öğrencisi Euler (1707-1783), negatif sayıların logaritmasını da içeren bir çok analiz konularında çözümleri ortaya koyuyordu.
ln(-x)=ln(+x) eşitliği, Euler`le aynı yıl ölen , Fransız matematikçi Jean LeRond d`Alembert’i de meşgul etti. Euler, Berlin`de çalışmalarını sürdürüyor iken, d`Alembert (1707-1783) Paris`te idi. Aralarında bu konuyla ilgili yazıştılar. Bu yazışmaların birinde, Euler, Jean Bernoulli`nin ortaya attığı
çıkarımı da dahil olmak üzere, negatif sayıların logaritmasının konumunu doğru olarak d`Alembert`e yazıyordu. Daha önce Euler`in öne sürdüğü,
formülüne yabancı olmayan, Jean Bernoulli ve diğer matematikçilere sonuç aşikar görünüyordu. Bu özellik -radyan ölçümünde- bütün açılar için doğruydu.
alındığında,
olarak bulunuyordu, böylece de
eşitliği doğrulandı. Negatif sayıların logaritması, Bernoulli ve d`Alembert`in düşündüğü gibi gerçek değil sanal formdaydı.
Fransız matematikçi Leonard Euler, problemlere yaklaşımı ve çözümlerinde kullandığı yöntemle, yaşadığı dönemde en çok eleştirilere uğrayan matematikçi oldu. Özellikle sonsuz toplam ve çarpımlarda, problemin tehlikelerine aldırış etmeden hareket ediyordu. Sonsuz serilerle ilgili işlemleri büyük bir serbestlikle ele aldı.
açılımından, x=1 alarak
sonucuna ulaştı, buradan da
elde ediyordu.
Euler`in "Introductio" adlı eseri böyle serilerle ve sonsuz çarpımlarla doludur.
ve
bunlardan bazılarıdır.
Euler, sonsuz serilerin toplamında
gibi bir hata yaparak
ve
eşitliklerini yazıyor, bu iki eşitliğin toplamlarını alarak ta
gibi kabul edilemez bir hata yapıyordu.
Matematik tarihi boyunca belki de en ilginç hatayı İngiliz matematikçi Wiliam Shanks yapmıştır. Shanks 20 yıl boyunca yaptığı hesaplamalar sonrası p sayısını 707. ondalık basamağa kadar buldu; ama 528. basamakta, ancak 1945 yılında keşfedilen, bir hata yapmıştı.
Bir matematik probleminin çözümünde şekil hataları, işlem hataları, varsayımların eksik olması, tanımların ya da önermelerin yanlış ya da eksik kullanımı, problemin çözümünün yanlış olmasına neden olurlar.
* Bu yazı Nurettin Çalışkan`ın geçen ay Pan Yayınevi`nden yayımladığı Matematik ve Hata adlı kitabın önsözüdür.
Eminim ki bir çoğunuz, lokantada içtikleri çorba sonrasında hesabı karıştıran üç kişinin macerasını duymuşsunuzdur.
Üç arkadaş lokantaya girerler ve garsondan çorba isterler. Çorbalarını içtikten sonra sıra hesap ödemeye gelir. Hesabı ödemek için herkes onar lira verir. Garson para üstü olarak beş lira getirir. İki lirasını garsona bahşiş olarak bırakan üçlü, birer liralarını ceplerine atarlar. Sonra yaptıkları hesapta ise, çorbalara dokuzar lira ve garsona iki lira verdiklerini, bu paranın toplamının 29 lira olduğunu görürler. Peki o zaman bir lira nerededir?
Problemin bu şekildeki çözümünde bir sorun olduğu ortada. Peki ama sorun nerede?
3 çorbanın 25 liraya mal olduğu düşünüldüğünde, çorba fiyatının 25/3=8.3333... olduğu görülebilir. Lokanta sahibinin çorba fiyatı olarak neden bir devirli sayı kullandığı başka bir sorun belki ama biz bununla ilgilenmiyoruz. Gelen para üstünün tam olarak paylaşımı için iki lirayı garsona bahşiş vermeleri ve geriye kalan 3 lirayı da paylaşmaları sonucunda lokantaya gitmek çorbacı üçlünün her birine 9 liraya mal olmuştur. Ceplerine attıkları birer lira hesaba katıldığında hesap tamamdır. O halde problemin yukarıdaki biçimiyle hata nerededir.
Hata garsona bırakılan bahşiş ile birlikte kişi başına 9 liraya mal olan hesabı, yanlış kurarak çözmeye çalışmadadır yani problemin kurulmasında bir ALDATMACA söz konusudur. Ceplerinde bulunan üç lira yerine, hesaba katılan garson bahşişi iki lirayı toplama katma ile bir yanlışlık yapılmaktadır.
Matematikte problemi yanlış kurarak buna benzer birçok hata yapılabilir. Böylesi aldatmacaların dışında matematik ve hata ayrılmaz bir ikili oluştururlar. Matematik doğası gereği hata yapmaya çok elverişlidir.
Matematiksel hatalar, çoğu zaman matematiğe ve onun araçlarına yabancı olanlarca yapılsa da, tanınan matematikçilerinde hata yaptığı görülür. Özellikle sonsuz seriler, sonsuz çarpımlar,
Piza`li Papaz ve matematikçi Guido Grandi (1671-1742), gül ve çiçeklere benzeyen eğriler üzerinde çalıştı. n pozitif bir sayı olmak üzere, kutupsal koordinatlara göre denklemi r=asinnx ve r=acosnx olan eğriler, "Grandi`nin gülleri" olarak bilinir.
Grandi, 1-1+1-1+1… sonsuz serisinin toplamı konusunda Alman düşünür Leibniz`le yazışmıştı. Grandi bu yazışmalarda, bu sonsuz toplamda terimleri ikililer halinde birleştirerek
(1-1)+(1-1)+….
şeklinde sıfır elde ediyordu. 1/(x+1) fonksiyonunun sentetik bölümünden bulunan
sonsuz serisinde x=1 konulduğunda aynı sonsuz toplam 1/2 oluyordu.
Böylece, Grandi
1-1+1-1+……=1/2
sonucuna ulaşan eşitliğin, Hıristiyanlığın gizemiyle kıyaslanacak bir paradoks oluşturduğunu öne sürüyordu.
Benzer şekilde, 1/(x+1) fonksiyonunun integralini düşünerek, Leibniz ve Jean Bernoulli (l667-1748), negatif sayıların logaritması üzerine yazıştılar. 1/(x+1) fonksiyonunun integrali alınarak
elde edilen
serisi, x < -1 değerleri için ıraksak olduğundan, Leibniz negatif sayıların logaritmasının olmadığını ileri sürüyordu; ama Bernoulli logaritma fonksiyonu grafiğinin y-eksenine göre simetrik olduğunu ve
özelliğinin sağlandığını söyleyerek, ln(-x)=ln(+x) eşitliğinin doğruluğuna inanıyordu.
Negatif sayıların logaritmasının doğası, bu iki yazışmada da çözülemedi. Jean Bernoulli, 18. yüzyılın ilk yarışında ki yazışmalarında bu konudaki çalışmalara teşvikini sürdürdü. 1748 yılında ölümünden bir süre önce, öğrencisi Euler (1707-1783), negatif sayıların logaritmasını da içeren bir çok analiz konularında çözümleri ortaya koyuyordu.
ln(-x)=ln(+x) eşitliği, Euler`le aynı yıl ölen , Fransız matematikçi Jean LeRond d`Alembert’i de meşgul etti. Euler, Berlin`de çalışmalarını sürdürüyor iken, d`Alembert (1707-1783) Paris`te idi. Aralarında bu konuyla ilgili yazıştılar. Bu yazışmaların birinde, Euler, Jean Bernoulli`nin ortaya attığı
çıkarımı da dahil olmak üzere, negatif sayıların logaritmasının konumunu doğru olarak d`Alembert`e yazıyordu. Daha önce Euler`in öne sürdüğü,
formülüne yabancı olmayan, Jean Bernoulli ve diğer matematikçilere sonuç aşikar görünüyordu. Bu özellik -radyan ölçümünde- bütün açılar için doğruydu.
Fransız matematikçi Leonard Euler, problemlere yaklaşımı ve çözümlerinde kullandığı yöntemle, yaşadığı dönemde en çok eleştirilere uğrayan matematikçi oldu. Özellikle sonsuz toplam ve çarpımlarda, problemin tehlikelerine aldırış etmeden hareket ediyordu. Sonsuz serilerle ilgili işlemleri büyük bir serbestlikle ele aldı.
açılımından, x=1 alarak
sonucuna ulaştı, buradan da
elde ediyordu.
Euler`in "Introductio" adlı eseri böyle serilerle ve sonsuz çarpımlarla doludur.
ve
bunlardan bazılarıdır.
Euler, sonsuz serilerin toplamında
gibi bir hata yaparak
ve
eşitliklerini yazıyor, bu iki eşitliğin toplamlarını alarak ta
gibi kabul edilemez bir hata yapıyordu.
Matematik tarihi boyunca belki de en ilginç hatayı İngiliz matematikçi Wiliam Shanks yapmıştır. Shanks 20 yıl boyunca yaptığı hesaplamalar sonrası p sayısını 707. ondalık basamağa kadar buldu; ama 528. basamakta, ancak 1945 yılında keşfedilen, bir hata yapmıştı.
Bir matematik probleminin çözümünde şekil hataları, işlem hataları, varsayımların eksik olması, tanımların ya da önermelerin yanlış ya da eksik kullanımı, problemin çözümünün yanlış olmasına neden olurlar.
* Bu yazı Nurettin Çalışkan`ın geçen ay Pan Yayınevi`nden yayımladığı Matematik ve Hata adlı kitabın önsözüdür.
